02 junho 2008

Porta dos Desesperados

Olá!

Resolvi colocar aqui no blog um post sobre um problema que considero bem interessante sobre probabilidades, e esse problema inclui o Sérgio Malandro e seu quadro "Porta dos Desesperados"! Espero que gostem.

Imaginemos o programa do Sérgio Malandro e o referido quadro. O jogo consistia em apresentar três portas (digamos portas A, B e C), sendo que em uma delas havia um prêmio (normalmente uma bicicleta ou um vídeo game). As outras duas portas por sua vez, continham monstros que saíam das portas e assustavam os participantes da brincadeira. Durante a brincadeira, o participante convidado escolhia uma das três portas, A, B ou C de forma aleatória, sem indicação nenhuma de onde estaria o prêmio ou os monstros. Logo em seguida, o apresentador abria uma das outras duas portas que sobravam e sempre saia dela um monstro. Veja bem que um dos principais detalhes é que sempre que o apresentador abria uma das portas restantes saía dela um monstro.

Dessa forma, o Sérgio Malandro perguntava a criança que participava da brincadeira o seguinte: "Você quer trocar de porta?", ou seja, deixar a porta que a criança escolheu e escolher a porta que restou depois que o apresentador abriu uma das portas que continham um monstro.
Dado esta situação, a pergunta é a seguinte: Do ponto de vista probabilístico, vale a pena trocar de porta?

Resposta: Sim, vale a pena trocar de porta!

Podemos pensar nesse problema da seguinte maneira:

Temos três portas (A, B e C) e que uma delas contém um prêmio (chamaremos de Porta Correta) e as outras duas comtêm monstros (chamaremos de Portas Erradas). Digamos que a porta escolhida seja a porta A. Admitimos que a distribuição seja aleatória e, dessa forma, a probabilidade dela ser a porta correta é de 33,3% (Um Terço) enquanto a probabilidade de a porta certa ser uma das duas restantes é 66,7% (Dois Terços). Essa parte tem de ser pensada
da seguinte maneira: A chance de ganhar na primeira escolha é de um terço e se concentra na porta A (porta que foi escolhida) enquanto a chance de perder se concentra nas outras duas portas (B e C). Só que, se por algum motivo, a criança sabe com certeza qual das duas portas que restaram B ou C está errada, a chance de o prêmio estar nessas duas portas continua sendo dois terços. Digamos que ele tenha certeza que a C está errada, ele saberá que a porta B tem dois
terços de chance de estar certa, sendo vantagem trocar de porta. Essa certeza da informação sobre a porta errada que restou (para esse caso a porta C) se da quando o apresentador do programa de TV, depois da escolha primaria pela porta A, abre SEMPRE uma porta errada (que contém um monstro). Sendo assim, a distribuição de probabilidades do problema não mudou , o que mudou foi a quantidade de informações que você tem sobre ele. Se, a priori, o Sérgio Malandro estivesse mostrado que a porta C era a errada e depois você pudesse escolher, dai as chances seriam iguais novamente entre a porta A e B (50%).

Outra maneira e enchergarmos esse problema é através da distribuição estatítisca. Segundo ela, temos três situações possíveis:

1ª Situação: A porta escolhida foi a porta A. O apresentador abre a porta C e mostra que essa tinha um monstro e pergunta "Você quer trocar de porta?", ou seja, ir para a porta B. O participante escolhe trocar e perde o prêmio.

2ª Situação: A porta escolhida foi a porta A. O apresentador revela o conteúdo da porta C e mostra que la tem um monstro e pergunta "Você quer trocar de porta?", ou seja, ir para a porta B. O participante escolhe trocar e ganha o prêmio.

3ª Situação: A porta escolhida foi a porta A. O apresentador revela o conteúdo da porta B e mostra que la tem um monstro e pergunta "Você quer trocar de porta?", ou seja, ir para a porta C. O participante escolhe trocar e ganha o prêmio.

Sendo assim, a chance de ganhar com a troca de portas aumenta (neste caso ela dobra). Se tivessemos um sistema com mais portas (digamos 100) e o apresentador mandasse o participante escolher uma delas e depois disso revelasse o conteúdo de 98 das 99 restantes e desse a oportunidade de troca, a chance de ganhar com a troca seria de 99%. Isso por que o apresentador SEMPRE revela o conteúdo de uma porta errada. Lembrando também que falar sobre probabilidade inclui o conceito de emsable, um conjunto de medidas que acabam seguindo a estatística desse ensamble. Se essa noção não ficar clara, se não pudermos repetir o experimento um razoável número de vezes, podemos chegar a conclusões precipitadas como por exemplo a chance de uma moeda ideal cair com o lado "cara" para cima. Se não tomarmos um certo número de experimentos podemos verificar que essa probabilidade não é de 50%.

Espero que tenham achado legal tanto quanto eu!
=D

Até!

2 Comments:

Blogger Man said...

achei bem massa, só que não entendi direito a situação 3...

Ps. Meu único propósito de conhecer o programa do Sérgio Malandro era ganhar uma bicicleta na porta dos desesperados.

mas fico em dúvida, pois a porta da esperança (Silvio...) é apelada, lá você podia escolher o prêmio. Lembro que as pessoas só pediam coisas inúteis... rs*

5:15 PM  
Blogger Tiago Cau said...

Cadê Voce!!!!!!!!!!!!!!!!!!!?????????????


doido!

12:30 PM  

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